Rabu, 12 Desember 2018
Sabtu, 27 Oktober 2018
FUNGSI
A.
Pengertian
Fungsi dalam
matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu
himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari
suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang
diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). Pada fungsi,
terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:
- Domain yaitu
daerah asal fungsi f.
- Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f.
- Range yaitu daerah hasil yang merupakan
himpunan bagian dari kodomain.
B.
Sifat-Sifat
Fungsi
1.
Fungsi injektif disebut fungsi satu-satu .
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi
satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan
dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat
dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠
f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.
2.
Fungsi surjektif disebut fungsi f: A → B disebut
fungsi kepada atau fungsi surjektif
jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat
paling tidak satu a dalam domain A sehingga
berlaku f (a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif
sama dengan kisarannya (Range).
3.
Fungsi bijektif adalah suatu pemetaan f: A→B
sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif
sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada
dalam korespondensi satu-satu”.
C.
Ekuivalen
Fungsi
Notasi ekuivalen
yaitu f(x) = g(x)
Contoh :
Jika diketahui f
(x) = {4, 8 ,16}
g = a ->
b, a= {1,2,3}
g(x)
= 2. 2x
Tentukan
apakah f(x) = g(x)?
Cara :
g (1) = 2.2.1
= 4
g(2) =2.2.2
= 8
g(3) =2.2.3
= 16
g(x)
= {4, 8, 16}
Dapat
dinyatakan bahwa f(x) = g(x).
D.
Invers
Fungsi
Notasi Invers dari
fungsi f(x) dilambangkan dengan f – 1 (x).
Ilustrasi
Contoh:
Jika f(2) = 1 maka
f –1 (1) =2
Jika digambar
dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari
grafik fungsinya terhadap garis y = x
Sifat-Sifat Invers
Fungsi:
1.
(f – 1) –
1(x) = f(x)
2.
(f o f
–1)(x) = (f – 1 o f)(x) = I(x) =
x, I = fungsi identitas
3.
(f o g) – 1 (x) = (g – 1 o f – 1)(x) Ingat: (f o g - 1)(x) ¹ (f o g) – 1 (x)
Mencari invers
fungsi yaitu:
1.
Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x) 2.
2.
Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x
= f – 1 (y) 3.
3.
Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga
menjadi y = f – 1 (x), yang merupakan
invers fungsi dari f .
Contoh 1:
f(x) = 3x – 2
invers fungsinya:
Contoh 2:
Cara Cepat!
Contoh 3:
f(x) = x 2 – 3x +
4
Invers fungsinya
Contoh 4:
E. Komposisi
Fungsi
Notasi:
f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat
juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) =
f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:
Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1))
= g(2) = 0
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak
bersifat komutatif (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Asosiatif (f
o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
3. Terdapat
fungsi identitas I(x) = x (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Contoh 1:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x2 – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
= 3(2x + 5) + 2 = 6x + 15 + 2
= 6x + 17 (g o f)(x)
= g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5
= 6x + 9 (f o g o h)(x)
= f(g(h(x))) = f(g(x2 – 1))
= f(2(x2 – 1) + 5)
= f(2x2 – 2 + 5)
= f(2x2 + 3)
= 3(2x2 + 3) + 2
= 6x2 + 9 + 2
= 6x2 + 11
atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah
diperoleh sebelumnya,
(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 – 1)
= 6(x2 - 1) + 17
= 6x2 - 6 + 17
= 6x2 + 11
Contoh 2:
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17
– 2 3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5
Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2 f(x) = 3x + 2
Contoh 4:
f(x) = x2 + 2x + 5
(f o g)(x) = 4x2 – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4x2 –
8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4x2 –8x + 8
(g(x) + 1)2 = 4x2 - 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)2 = 4x2 – 8x + 4
(g(x) + 1)2 = (2x – 2)2
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x– 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau f(g(x)) = 4x2 – 8x + 8
(g(x))2 + 2g(x) + 5 = 4x2 – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka
misalkan g(x) = ax + b
(ax + b)2 + 2(ax + b) + 5
= 4x2 – 8x + 8 a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5
= 4x2 – 8x + 8 a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5)
= 4x2–8x + 8
Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan:
a2 = 4
→ a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12→ b = –3
untuk a = –2→ 2ab + 2a = –8
– 4b + 4 = – 8 – 4b = –12→ b = 3
Jadi g(x) = 2x
– 3 atau g(x) = – 2x + 3
DAFTAR PUSTAKA
Ch.Soewongsono, A. (2015). Relasi Dan Fungsi Serta
Penerapannya. Diakses pada Kamis, 25 Oktober 2018 pukul 10:10 pm WITA.
Dari : http://www.academia.edu/13722997/Relasi_dan_Fungsi_dalam_Matematika_Diskrit
Muqaima,
Nur. (2016). Pengertian Fungsi Dalam Matematika. Diakses pada
Kamis, 25 Oktoer 2018 pukul 11: 34 pm WITA. Dari: https://www.academia.edu/9056474/Pengertian_fungsi_dalam_matematika
Langganan:
Postingan (Atom)
